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F I C H E 1 1 – S u i t e s p a r t i c u l i è r e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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A p p l i c a t i o n
Déterminez la suite (u n ) de réels définie par la relation de récurrence :
∀n ∈ N
u n+2 + u n+1 + u n = 0 (1)
et les conditions initiales : u 0 = 1 et u 1 = 0,5 .
S o l u t i o n
Il s'agit d'une suite définie par une relation de récurrence linéaire du second ordre.
L'équation caractéristique :
r
2
+ r + 1 = 0
a pour solutions :
r 1 = −
1
2
+ i
√
3
2
= 1
cos
2π
3
+ i sin
2π
3
; r 2 = r 1 .
Toute suite vérifiant la condition (1) est donc du type :
u n = K 1 cos
n
2π
3
+ K 2 sin
n
2π
3
,
K 1 et K 2 étant des constantes à déterminer par les conditions initiales. Ici :
u 0 = 1 = K 1
u 1 = 0,5 = K 1 cos
2π
3
+ K 2 sin
2π
3
= −
1
2
K 1 +
√
3
2
K 2
d'où : K 1 = 1 et K 2 =
2
√
3
3
· On obtient donc la suite solution :
∀n ∈ N
u n = cos
n
2π
3
+
2
√
3
3
sin
n
2π
3
.