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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Soit (u n ) la suite de réels définie par
∀n ∈ N
u n+2 = u n+1 + u n et u 0 = u 1 = 1.
Calculez u n , puis lim
n→+∞
u n .
S o l u t i o n
Il s'agit d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2, à coefficients constants.
L'équation caractéristique r
2
− r − 1 = 0 a deux racines réelles distinctes
r 1 =
1 −
√
5
2
et r 2 =
1 +
√
5
2
·
Toute suite (u n ) vérifiant la relation de récurrence
∀n ∈ N
u n+2 − u n+1 − u n = 0
est donc de la forme u n = K 1 r
n
1 + K 2 r
n
2 .
Les conditions initiales permettent de calculer K 1 et K 2 :
u 0 = 1 = K 1 + K 2
u 1 = 1 = K 1 r 1 + K 2 r 2
⇐⇒

 
 
K 1 =
1 − r 1
r 2 − r 1
=
5 +
√
5
10
K 2 =
r 2 − 1
r 2 − r 1
=
5 −
√
5
10
La suite (u n ) est donc définie par :
∀n ∈ N
u n =
5 +
√
5
10
1 −
√
5
2
n
+
5 −
√
5
10
1 +
√
5
2
n
.
Comme
1 −
√
5
2
≈ | − 0,6| < 1, on a lim
n→+∞
1 −
√
5
2
n
= 0 .
Comme
1 −
√
5
2
≈ 1,6 > 1 , on a lim
n→+∞
1 +
√
5
2
n
= +∞.
On obtient donc lim
n→+∞
u n = +∞ .