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F I C H E 1 1 – S u i t e s p a r t i c u l i è r e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1
1
u n = K 1 r
n
1 + K 2 r
n
2
où K 1 et K 2 sont des constantes que l'on exprime ensuite en fonction de u 0 et u 1 .
Si = 0, (E) a une racine double r 0 = −
b
2a
· Toute suite vérifiant (1) est alors du
type :
u n = (K 1 + K 2 n)r
n
0 .
– Cas a, b, c réels
Si > 0 ou = 0, la forme des solutions n'est pas modifiée.
Si < 0, (E) a deux racines complexes conjuguées r 1 = α + iβ et r 2 = α − iβ
que l'on écrit sous forme trigonométrique r 1 = ρ e
iθ et r 2 = ρ e
−iθ .
Toute suite vérifiant (1) est alors du type :
u n = ρ
n
(K 1 cos nθ + K 2 sin nθ).
• Suites récurrentes u n+1 = f (u n )
– Pour étudier une telle suite, on détermine d'abord un intervalle I contenant toutes
les valeurs de la suite.
– Limite éventuelle
Si (u n ) converge vers l et si f est continue en l, alors f (l) = l.
– Cas f croissante
Si f est croissante sur I , alors la suite (u n ) est monotone.
La comparaison de u 0 et de u 1 permet de savoir si elle est croissante ou décroissante.
– Cas f décroissante
Si f est décroissante sur I , alors les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont monotones et de
sens contraire.
Cherchez à étudier si elles sont adjacentes ou non.