A p p l i c a t i o n
Soit u 0 et v 0 deux nombres réels tels que 0 < u 0 < v 0 .
On définit les suites (u n ) et (v n ) par les relations de récurrence :
∀n ∈ N
u n+1 =
√
u n v n
;
v n+1 =
u n + v n
2
·
Démontrez que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes.
S o l u t i o n
Tout d'abord, il est facile de montrer, par récurrence, que les nombres u n et v n sont
positifs. On peut donc écrire :
v n+1 − u n+1 =
u n + v n
2
−
√
u n v n =
(
√
u n −
√
v n )
2
2
0
ce qui montre que u n v n pour tout n.
Pour tout entier n, on a :
u n+1 − u n =
√
u n v n − u n =
√
u n (
√
v n −
√
u n ) 0 .
La suite (u n ) est donc croissante.
Pour tout entier n, on a :
v n+1 − v n =
u n + v n
2
− v n =
u n − v n
2
0 .
La suite (v n ) est donc décroissante.
De ce qui précède, il résulte que :
– la suite (u n ), croissante et majorée par v 0 , converge vers l 1 ;
– la suite (v n ), décroissante et minorée par u 0 , converge vers l 2 .
La suite
u n + v n
2
converge donc vers
l 1 + l 2
2
alors que la suite (v n+1 )converge
vers l 2 . Par conséquent l 2 =
l 1 + l 2
2
soit l 1 = l 2 , ce qui assure que les suites (u n ) et
(v n ) sont adjacentes.
55
F I C H E 1 0 – S u i t e s n u m é r i q u e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1
0