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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Comme lim
n→∞
A
n
= 0 , il existe un entier n 1 > n 0 tel que, pour n n 1 , on ait
A
n
<
ε
2
·
En définitive, pour ε > 0 quelconque, il existe n 1 tel que, pour n n 1 , on ait
|v n − l| < ε.
La suite (v n ) est donc convergente vers l.
A p p l i c a t i o n
Soit (u n ) une suite de réels telle que les suites extraites (u 2n ), (u 2n+1 ) et (u 3n ) soient
convergentes. Démontrez que la suite (u n ) est convergente.
S o l u t i o n
Notons l 1 , l 2 et l 3 les limites respectives des suites (u 2n ), (u 2n+1 ) et (u 3n ).
Nous savons que, si une suite (v n ) est convergente vers v, alors toute suite extraite de
cette suite converge et admet v comme limite.
La suite (u 6n ) est extraite à la fois des suites (u 2n ) et (u 3n ). Elle est donc convergente
vers l 1 et vers l 3 . D'après l'unicité de la limite d'une suite convergente, on a donc
l 1 = l 3 .
La suite (u 6n+3 ) est extraite à la fois des suites (u 2n+1 ) et (u 3n ). Elle est donc convergente vers l 2 et vers l 3 . D'après l'unicité de la limite d'une suite convergente, on a donc
l 2 = l 3 .
On a donc l 1 = l 2 , c'est-à-dire que les deux suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) ont la même limite.
Comme tout réel u n est une valeur de l'une de ces deux suites, la suite (u n ) est convergente.
A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Comme lim
n→∞
A
n
= 0 , il existe un entier n 1 > n 0 tel que, pour n n 1 , on ait
A
n
<
ε
2
·
En définitive, pour ε > 0 quelconque, il existe n 1 tel que, pour n n 1 , on ait
|v n − l| < ε.
La suite (v n ) est donc convergente vers l.
A p p l i c a t i o n
Soit (u n ) une suite de réels telle que les suites extraites (u 2n ), (u 2n+1 ) et (u 3n ) soient
convergentes. Démontrez que la suite (u n ) est convergente.
S o l u t i o n
Notons l 1 , l 2 et l 3 les limites respectives des suites (u 2n ), (u 2n+1 ) et (u 3n ).
Nous savons que, si une suite (v n ) est convergente vers v, alors toute suite extraite de
cette suite converge et admet v comme limite.
La suite (u 6n ) est extraite à la fois des suites (u 2n ) et (u 3n ). Elle est donc convergente
vers l 1 et vers l 3 . D'après l'unicité de la limite d'une suite convergente, on a donc
l 1 = l 3 .
La suite (u 6n+3 ) est extraite à la fois des suites (u 2n+1 ) et (u 3n ). Elle est donc convergente vers l 2 et vers l 3 . D'après l'unicité de la limite d'une suite convergente, on a donc
l 2 = l 3 .
On a donc l 1 = l 2 , c'est-à-dire que les deux suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) ont la même limite.
Comme tout réel u n est une valeur de l'une de ces deux suites, la suite (u n ) est convergente.