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F I C H E 1 0 – S u i t e s n u m é r i q u e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1
0
A p p l i c a t i o n
Étudiez la convergence, et la limite éventuelle, de la suite définie par :
u n =
n
√
a n + b n où a et b sont des réels donnés strictement positifs.
S o l u t i o n
Supposons a b. Dans la somme a
n
+ b
n , nous allons mettre a
n en facteur, qui est
le terme dominant si a > b.
ln (u n ) =
1
n
ln (a
n
+ b
n
) =
1
n
ln
a
n
1 +
b
a
n
= ln a +
1
n
ln
1 +
b
a
n
Comme a b, on a lim
n→+∞
1
n
ln
1 +
b
a
n
= 0 . On en déduit :
lim
n→+∞
ln (u n ) = ln a , puis lim
n→+∞
u n = a .
A p p l i c a t i o n
Soit (u n ) une suite de réels qui converge vers l. Pour n 1, on pose :
v n =
u 1 + u 2 + · · · + u n
n
·
Montrez que (v n ) est convergente, et converge vers l.
S o l u t i o n
Comme (u n ) converge vers l, il existe n 0 tel que, pour tout n n 0 , on ait
|u n − l| <
ε
2
·
Pour n n 0 , on peut écrire v n − l sous la forme :
v n − l =
(u 1 − l) + · · · + (u n 0 − l) + · · · + (u n − l)
n
·
D'où |v n − l|
|u 1 − l| + · · · + |u n 0 − l|
n
+
|u n 0 +1 − l| + · · · + |u n − l|
n
A
n
+
n − n 0
n
ε
2
A
n
+
ε
2
où A = |u 1 − l| + · · · + |u n 0 − l|.