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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
IV Suites extraites
• Définition et propriétés
– La suite (v n ) est dite extraite de la suite (u n ) s'il existe une application ϕ de N
dans N, strictement croissante, telle que v n = u ϕ(n) .
On dit aussi que (v n ) est une sous-suite de (u n ).
– Si (u n ) converge vers l, toute sous-suite converge aussi vers l.
Si une suite extraite de (u n ) diverge, ou si deux suites extraites ont des limites différentes,
alors (u n ) diverge.
Si des suites extraites de (u n ) convergent toutes vers la même limite l, on peut conclure
que (u n ) converge vers l si tout u n est un terme d'une des suites extraites étudiées.
Par exemple, si (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers l, alors (u n ) converge vers l.
• Théorème de Bolzano-Weierstrass
De toute suite de réels bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
V Suites de Cauchy
• Définition
Une suite (u n ) est de Cauchy si, pour tout ε positif, il existe un entier naturel n 0 pour
lequel, quels que soient les entiers p et q supérieurs ou égaux à n 0 , on ait
|u p − u q | < ε .
Attention, p et q ne sont pas liés.
• Propriété
Une suite de réels, ou de complexes, converge si, et seulement si, elle est de
Cauchy.
A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
IV Suites extraites
• Définition et propriétés
– La suite (v n ) est dite extraite de la suite (u n ) s'il existe une application ϕ de N
dans N, strictement croissante, telle que v n = u ϕ(n) .
On dit aussi que (v n ) est une sous-suite de (u n ).
– Si (u n ) converge vers l, toute sous-suite converge aussi vers l.
Si une suite extraite de (u n ) diverge, ou si deux suites extraites ont des limites différentes,
alors (u n ) diverge.
Si des suites extraites de (u n ) convergent toutes vers la même limite l, on peut conclure
que (u n ) converge vers l si tout u n est un terme d'une des suites extraites étudiées.
Par exemple, si (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers l, alors (u n ) converge vers l.
• Théorème de Bolzano-Weierstrass
De toute suite de réels bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
V Suites de Cauchy
• Définition
Une suite (u n ) est de Cauchy si, pour tout ε positif, il existe un entier naturel n 0 pour
lequel, quels que soient les entiers p et q supérieurs ou égaux à n 0 , on ait
|u p − u q | < ε .
Attention, p et q ne sont pas liés.
• Propriété
Une suite de réels, ou de complexes, converge si, et seulement si, elle est de
Cauchy.