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F I C H E 1 0 – S u i t e s n u m é r i q u e s
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II Opérations sur les suites
• Opérations algébriques
Si (u n ) et (v n ) convergent vers l et et l
, alors les suites (u n + v n ), (λ u n ) et (u n v n )
convergent respectivement vers l + l
, l l et l l
.
Si l
= / 0, et si v n = / 0 pour tout n ∈ N, la suite
u n
v n
converge vers
l
l ·
Si (u n ) tend vers 0 et si (v n ) est bornée, alors la suite (u n v n ) tend vers 0.
• Relation d'ordre
Si (u n ) et (v n ) sont des suites convergentes telles que l'on ait u n v n pour n n 0 ,
alors on a : lim
n→+∞
u n lim
n→+∞
v n .
Attention, pas de théorème analogue pour les inégalités strictes.
• Théorème d'encadrement
Si, à partir d'un certain rang, u n x n v n et si (u n ) et (v n ) convergent vers la
même limite l, alors la suite (x n ) est convergente vers l.
III Suites monotones
• Définitions
La suite (u n ) est croissante si u n+1 u n pour tout n ;
décroissante si u n+1 u n pour tout n ;
stationnaire si u n+1 = u n pour tout n.
• Convergence
Toute suite de réels croissante et majorée est convergente.
Toute suite de réels décroissante et minorée est convergente.
Si une suite est croissante et non majorée, elle diverge vers +∞ .
• Suites adjacentes
Les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes si :
(u n ) est croissante ; (v n ) est décroissante ; lim
n→+∞
(v n − u n ) = 0 .
Si deux suites sont adjacentes, elles convergent et ont la même limite.
Si (u n ) croissante, (v n ) décroissante et u n v n pour tout n, alors elles convergent vers
l 1 et l 2 . Il reste à montrer que l 1 = l 2 pour qu'elles soient adjacentes.