50
A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Suites numériques
I Généralités
Une suite numérique est une application de N dans R.
• Suite bornée
Une suite (u n ) est majorée s'il existe un réel A tel que, pour tout n, u n A. On dit
que A est un majorant de la suite.
Une suite (u n ) est minorée s'il existe un réel B tel que, pour tout n, B u n . On dit
que B est un minorant de la suite.
Une suite est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire s'il
existe M tel que |u n | M pour tout n.
• Suite convergente
La suite (u n ) est convergente vers l ∈ R si :
∀ε > 0 ∃ n 0 ∈ N ∀n n 0 |u n − l| ε.
Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.
Lorsqu'elle existe, la limite d'une suite est unique.
La suppression d'un nombre fini de termes ne modifie pas la nature de la suite, ni sa
limite éventuelle.
Toute suite convergente est bornée. Une suite non bornée ne peut donc pas être
convergente.
• Limites infinies
On dit que la suite (u n ) diverge
vers +∞ si : ∀A > 0 ∃ n 0 ∈ N ∀n n 0 u n A
vers −∞ si : ∀A > 0 ∃ n 0 ∈ N ∀n n 0 u n −A .
• Limites connues
Pour k > 1, α > 0, β > 0
lim
n→+∞
k
n
n!
= 0 ; lim
n→+∞
n
α
k n = 0 ; lim
n→+∞
(ln n)
β
n α = 0 .
FICHE 10