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F I C H E 9 – F o n c t i o n s h y p e r b o l i q u e s e t r é c i p r o q u e s
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A p p l i c a t i o n
Simplifiez l'écriture des expressions :
f (x) = argch
1 + chx
2
; g(x) = argsh(2x
√
1 + x 2 ) ; h(x) = argth
x
2
− 1
x 2 + 1
.
S o l u t i o n
• On a
1 + chx
2
=
ch
2 x
2
= ch
x
2
car ch u > 0 pour tout u.
En revenant à la définition, vous pouvez vérifier que : 1 + ch(2a) = 2ch
2 (a) .
Donc f (x) =
|x|
2
·
• Posons t = argsh x, d'où x = sh t . On a alors :
2x
√
1 + x 2 = 2sh t ch t = sh 2t.
En revenant à la définition, vous pouvez vérifier que : sh(2a) = 2sh a ch a .
D'où : g(x) = 2t = 2 argsh x .
• h(x) existe si, et seulement si : −1 <
x
2
− 1
x 2 + 1
< 1.
En multipliant par x
2
+ 1 > 0 , ces inégalités sont équivalentes à :
−x
2
− 1 < x
2
− 1 et x
2
− 1 < x
2
+ 1 ,
c'est-à-dire à x = / 0.
En utilisant l'écriture logarithmique de argth, on a :
h(x) =
1
2
ln




1 +
x
2
− 1
x 2 + 1
1 −
x
2
− 1
x 2 + 1



 =
1
2
ln(x
2
) = ln |x| .