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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Soit θ ∈ R
∗ et n ∈ N ; montrez que :
n
k=0
ch(kθ) =
ch
nθ
2
sh
(n + 1)θ
2
sh
θ
2
·
S o l u t i o n
S =
n
k=0
ch(kθ) =
n
k=0
e
kθ
+ e
−kθ
2
=
1
2
n
k=0
e
kθ
+
n
k=0
e
−kθ
.
On a la somme de deux progressions géométriques de raisons e
θ et e
−θ différentes de
1 car θ = / 0.
D'où :
S =
1
2
1 − e
(n+1)θ
1 − e θ +
1 − e
−(n+1)θ
1 − e −θ
=
1
2

 e
(n+1) θ
2
e
θ
2
×
e
−(n+1) θ
2 − e
(n+1) θ
2
e
− θ
2 − e
θ
2
+
e
−(n+1) θ
2
e
− θ
2
×
e
(n+1) θ
2 − e
−(n+1) θ
2
e
θ
2 − e
− θ
2


=
1
2
e
n θ
2 ×
sh
(n+1) θ
2
sh
θ
2
+ e
−n θ
2 ×
sh
(n+1) θ
2
sh
θ
2
=
sh
(n + 1)
θ
2
sh
θ
2
×
e
n θ
2 + e
−n θ
2
2
=
sh
(n + 1)
θ
2
sh
θ
2
× ch
n
θ
2
.