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F I C H E 9 – F o n c t i o n s h y p e r b o l i q u e s e t r é c i p r o q u e s
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II Fonctions hyperboliques
réciproques
• Fonction argument sinus hyperbolique
C'est la fonction réciproque de la fonction sh. La fonction argsh est impaire.
∀x ∈ R
(argsh x)
=
1
√
x 2 + 1
·
• Fonction argument cosinus hyperbolique
C'est la fonction réciproque de la restriction à [0,+∞[ de la fonction ch.
∀x ∈]1,+∞[
(argch x)
=
1
√
x 2 − 1
·
• Argument tangente hyperbolique
C'est la fonction réciproque de la fonction th. La fonction argth est impaire.
∀x ∈ ] − 1,1[
(argth x)
=
1
1 − x 2 ·
• Expressions logarithmiques
∀x ∈ R
argsh x = ln (x +
√
x 2 + 1).
∀x ∈ [1,+∞[
argch x = ln (x +
√
x 2 − 1).
∀x ∈] − 1,1[
argth x =
1
2
ln
1 + x
1 − x
.