46
A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Fonctions
hyperboliques
et réciproques
I Fonctions hyperboliques
• Définitions
∀x ∈ R
ch x =
e
x
+ e
−x
2
; sh x =
e
x
− e
−x
2
; th x =
sh x
ch x
·
ch est paire ; sh et th sont impaires.
• Propriétés algébriques
ch x + sh x = e
x
; ch
2 x − sh
2 x = 1 ; 1 − th
2 x =
1
ch
2 x
·
• Dérivées
∀x ∈ R (ch x)
= sh x ; (sh x)
= ch x ; (th x)
=
1
ch
2 x
= 1 − th
2 x .
• Graphes
Le graphe de ch est situé au-dessus de celui de sh.
Le graphe de th est situé entre les deux asymptotes y = −1 et y = 1 :
y
x
1
1
0
ch
sh
Figure 9.1
y
x
1
1
–1
0
th
Figure 9.2
FICHE 9
A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Fonctions
hyperboliques
et réciproques
I Fonctions hyperboliques
• Définitions
∀x ∈ R
ch x =
e
x
+ e
−x
2
; sh x =
e
x
− e
−x
2
; th x =
sh x
ch x
·
ch est paire ; sh et th sont impaires.
• Propriétés algébriques
ch x + sh x = e
x
; ch
2 x − sh
2 x = 1 ; 1 − th
2 x =
1
ch
2 x
·
• Dérivées
∀x ∈ R (ch x)
= sh x ; (sh x)
= ch x ; (th x)
=
1
ch
2 x
= 1 − th
2 x .
• Graphes
Le graphe de ch est situé au-dessus de celui de sh.
Le graphe de th est situé entre les deux asymptotes y = −1 et y = 1 :
y
x
1
1
0
ch
sh
Figure 9.1
y
x
1
1
–1
0
th
Figure 9.2
FICHE 9