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F I C H E 8 – F o n c t i o n s c i r c u l a i r e s e t r é c i p r o q u e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
8
S o l u t i o n
• La fonction arcsin, de [−1,1 ] dans
−
π
2
,
π
2
, est continue et strictement croissante.
Comme arcsin
4
5
+ arcsin
5
13
≈ 1,32 ∈
−
π
2
,
π
2
, l'équation (1) admet une solution,
et une seule.
Comme arccos
1
3
+ arccos
1
4
≈ 2,55 /
∈
−
π
2
,
π
2
, l'équation (3) n'a pas de solution.
La fonction arccos, de [−1,1 ] dans [ 0,π ] , est continue et strictement croissante.
Comme arccos
1
3
+ arccos
1
4
≈ 2,55 ∈ [ 0,π ], l'équation (2) admet une solution, et
une seule.
• L'équation (1) implique :
sin
arcsin
4
5
+ arcsin
5
13
= sin (arcsin x) = x .
On développe le premier membre, en sachant que :
sin (arccos θ) =
sin
2
(arccos θ) =
1 − cos 2 (arccos θ) =
1 − θ
2 ,
et on obtient ainsi :
x =
4
5
×
1 −
5
13
2
+
1 −
4
5
2
×
5
13
=
4
5
×
12
13
+
3
5
×
5
13
=
63
65
·
• L'équation (2) implique :
cos
arccos
1
3
+ arccos
1
4
= cos (arccos x) = x .
On développe le premier membre, ce qui donne :
x =
1
3
×
1
4
−
1 −
1
3
2
×
1 −
1
4
2
=
1
12
−
8
9
×
15
16
=
1 − 2
√
30
12
·
Maple trouve une solution dans les trois cas, alors que l'équation (3) n'a pas de solution !