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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Déterminez les valeurs exactes des éventuelles racines de l'équation :
arctan 2x + arctan x =
π
4
·
S o l u t i o n
Étudions d'abord l'existence des racines de l'équation. Pour ceci, considérons la fonction f définie sur R par
f (x) = arctan 2x + arctan x.
Elle est continue, strictement croissante de −π à π lorsque x varie de −∞ à +∞ .
Toute équation du type f (x) = c avec c ∈ ] − π,π [ admet donc une solution unique,
ce qui est le cas pour c =
π
4
·
Comme f (0) = 0, on sait aussi que la racine est positive d'après le sens de variation
de f.
Si x est la solution cherchée, on a tan
f (x)
= tan
π
4
= 1 . Or :
tan
f (x)
=
2x + x
1 − 2x 2 =
3x
1 − 2x 2 ·
x est donc solution de l'équation 2x
2
+ 3x − 1 = 0 .
Cette équation a deux racines :
x 1 =
−3 +
√
17
4
≈ 0,28 et x 2 =
−3 −
√
17
4
≈ −1,78.
Comme x 2 ne convient pas, la racine est donc x 1 .
A p p l i c a t i o n
Déterminez les valeurs exactes des éventuelles racines des équations :
arcsin
4
5
+ arcsin
5
13
= arcsin x
(1).
arccos
1
3
+ arccos
1
4
= arccos x
(2).
arccos
1
3
+ arccos
1
4
= arcsin x
(3).