A p p l i c a t i o n
En introduisant la fonction f n définie par f n (x) =
n
k=0
e
−kx ,
trouvez la limite de la suite de terme général u n =
n
k=1
k
e k ·
S o l u t i o n
L'expression
n
k=0
e
−kx est une somme de n + 1 termes d'une suite géométrique de raison e
−x . En supposant x = / 0, on a donc :
f n (x) =
n
k=0
e
−kx
=
1 − e
−(n+1)x
1 − e −x ·
En dérivant, par rapport à x, le premier membre, on obtient :
f
n (x) = −
n
k=1
ke
−kx ce qui montre que u n = − f
n (1) .
En dérivant, par rapport à x, le second membre de l'égalité, on obtient :
f
n (x) =
(n + 1) e
−(n+1) x
(1 − e
−x
) − (1 − e
−(n+1) x
) e
−x
(1 − e −x ) 2
·
Par conséquent,
lim
n→+∞
u n = lim
n→+∞
−(n + 1)e
−(n+1)
(1 − e
−1
) + (1 − e
−(n+1)
) e
−1
(1 − e −1 ) 2
·
En utilisant le théorème sur la croissance comparée des fonctions puissances et exponentielles, on en déduit :
lim
n→+∞
u n =
e
−1
(1 − e −1 ) 2 =
e
(e − 1) 2 ≈ 0,92 .
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F I C H E 7 – L o g a r i t h m e s e t e x p o n e n t i e l l e s
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