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F I C H E 7 – L o g a r i t h m e s e t e x p o n e n t i e l l e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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A p p l i c a t i o n
Résolvez dans R l'équation (E) :
2
2x−1
+ 3
x
+ 4
x+ 1
2 − 9
x
2
+1 = 0.
S o l u t i o n
L'équation (E) est définie pour tout x ∈ R. En regroupant les termes du type 2
a et les
termes du type 3
b , on on obtient :
(E) ⇐⇒ 2
2x
(2
−1
+ 2) = 3
x
(3
2
− 1) ⇐⇒
4
3
x
=
16
5
·
L'équation (E) a donc une seule solution dans R : x =
ln 16 − ln 5
ln 4 − ln 3
≈ 4,04.
A p p l i c a t i o n
Résolvez dans R l'inéquation (I) :
e
2x
− e
x+2
− e
2−x
+ 1 < 0 .
S o l u t i o n
L'inéquation (I) est définie pour tout x ∈ R. En posant X = e
x , elle s'écrit :
X
2
− e
2 X − e
2 1
X
+ 1 < 0 .
Comme X > 0, elle est équivalente à :
X
3
− e
2 X
2
+ X − e
2
< 0 soit : (X − e
2
)(X
2
+ 1) < 0 .
Comme on a toujours X
2
+ 1 > 0, l'inéquation (I) est équivalente à :
e
x
< e
2
⇐⇒ x < 2 .