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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
On la généralise, pour x > 0 et a ∈ R, en posant :
x
a
= e
a ln x .
Les propriétés connues pour les exposants rationnels sont prolongées ; en particulier (x
a
)
= ax
a−1 .
Remarquez bien qu'ici l'exposant est constant.
Pour a < 0, la fonction x → x
a est strictement décroissante de +∞ à 0.
Pour a > 0, la fonction x → x
a est strictement croissante de 0 à +∞ . Dans ce cas,
on peut prolonger la fonction par continuité en 0. La fonction prolongée est dérivable en 0, si a > 1.
• Comparaison des fonctions logarithmes et puissances
Pour b > 0, on a :
lim
x→+∞
ln x
x b = 0 ; lim
x→0 +
x
b ln x = 0 .
• Comparaison des fonctions puissances et exponentielles
Pour a > 1 et b quelconque, on a :
lim
x→+∞
a
x
x b = +∞ .
• Comparaison des fonctions logarithmes et exponentielles
Pour a > 1, on a :
lim
x→+∞
ln x
a x = 0 .