37
F I C H E 7 – L o g a r i t h m e s e t e x p o n e n t i e l l e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
7
• Propriétés algébriques
∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀r ∈ Q
e
a+b
= e
a
× e
b
; e
ra
= (e
a
)
r
; e
−a
=
1
e a ; e
a−b
=
e
a
e b ·
• Convexité
La fonction → e
x est convexe sur R, ce qui entraîne :
∀x ∈ R
1 + x e
x .
La dérivée en x = 0 étant égale à 1, on a aussi : e
x
− 1 ∼
0
x.
III Logarithme et exponentielle de base a
• Logarithme de base a
La fonction logarithme de base a (a > 0 ; a = / 1), est la fonction définie par :
∀x > 0
log a (x) =
ln x
ln a
·
Sa dérivée est : (log a x)
=
1
ln a
×
1
x
·
Ses propriétés algébriques sont les mêmes que celles de la fonction ln.
Si a = 10, log a est le logarithme décimal. On le note log.
• Exponentielle de base a
La fonction exponentielle de base a (a > 0), est la fonction définie par :
∀x ∈ R
exp a (x) = a
x
= e
x ln a
.
Pour a = / 1, c'est la fonction réciproque de la fonction log a .
y = a
x
⇐⇒ ln y = x ln a ⇐⇒ x = log a (y) .
Sa dérivée est : (a
x
)
= ln a × a
x .
Remarquez bien qu'ici, la variable est en exposant.
Ses propriétés algébriques sont les mêmes que celles de la fonction exp.
IV Fonctions puissances et comparaisons
• Fonctions puissances
La fonction x → x
r , pour x > 0 et r ∈ Q, est déjà connue.