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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Logarithmes
et exponentielles
I Fonction logarithme népérien
• Définition et graphe
Elle est définie pour x > 0 par :
ln 1 = 0 ;
∀x > 0
(lnx)
=
1
x
·
Elle est strictement croissante.
lim
x→0 +
ln x = −∞; lim
x→+∞
ln x = +∞.
L'unique solution de l'équation ln x = 1 est
notée e (e ≈ 2,718 ).
• Propriétés algébriques
∀a > 0 ∀b > 0 ∀r ∈ Q
ln (ab) = ln a + ln b ; ln (a
r
) = rln a ; ln
a
b
= ln a − lnb .
• Convexité
La fonction ln est concave sur ]0,+∞[, ce qui entraîne :
∀x > −1
ln(1 + x) x .
La dérivée en x = 1 étant égale à 1, on a aussi : ln (1 + x) ∼
0
x .
II Fonction exponentielle
• Définition et graphe
C'est la fonction réciproque de la fonction ln. Elle est définie
sur R, à valeurs dans ]0,+∞[, strictement croissante.
Elle est notée exp, ou x → e
x .
∀x ∈ R (e
x
)
= e
x ; lim
x→−∞
e
x
= 0 ; lim
x→+∞
e
x
= +∞ .
y
1
1
x
0
Figure 7.1
y
1
1
x
0
Figure 7.2
FICHE 7