A p p l i c a t i o n
Soit f la fonction définie par :
f (x) = x
2 cos
1
x
pour x = / 0 ; f (0) = 0.
Montrez que f est dérivable en 0, et que, pourtant, la limite lim
x→0
f
(x) n'existe pas.
S o l u t i o n
On a f
(0) = lim
x→0
f (x) − f (0)
x
= lim
x→0
xcos
1
x
= 0
car 0
x cos
1
x
|x| permet d'appliquer le théorème d'encadrement.
Si x = / 0, f est dérivable en x, et on a :
f
(x) = 2xcos
1
x
+ sin
1
x
·
Quand x tend vers 0, 2xcos
1
x
tend vers 0, et sin
1
x
n'a pas de limite (cf. fiche 3) ;
donc f
(x) n'a pas de limite quand x tend vers 0.
A p p l i c a t i o n
Démontrez l'encadrement :
∀x ∈
0,
π
2
2
π
x sin x x .
S o l u t i o n
La fonction sin x est concave dans l'intervalle
0,
π
2
. Son graphe est au dessous de sa
tangente à l'origine, d'équation y = x, et au dessus de la sécante joignant les points
(0,0) et
π
2
,1
, d'équation y =
2
π
x.
L'encadrement annoncé en résulte.
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F I C H E 6 – C o m p l é m e n t s s u r l e s f o n c t i o n s d é r i v a b l e s
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