A p p l i c a t i o n
Soit a 0 ,a 1 ,. . . ,a n des réels tels que a 0 +
a 1
2
+ · · · +
a n
n + 1
= 0 .
Considérons la fonction f définie sur R par f (x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x
n .
Montrez que l'équation f (x) = 0 a, au moins, une solution dans ] 0,1[.
S o l u t i o n
Considérons la fonction g définie sur R par :
g(x) = a 0 x +
a 1
2
x
2
+ · · · +
a n
n + 1
x
n+1
·
C'est une fonction continue sur [0,1], dérivable sur ]0,1[, et telle que g(0) = g(1) = 0.
D'après le théorème de Rolle, il existe donc au moins un réel c ∈]0,1[ tel que
g
(c) = 0 = f (c).
A p p l i c a t i o n
Prouvez que :
∀n ∈ N
∗
1 +
1
n
n
< e <
1 +
1
n
n+1
.
S o l u t i o n
La fonction ln étant strictement croissante, il est équivalent de démontrer :
nln
1 +
1
n
< 1 < (n + 1)ln
1 +
1
n
soit
1
n + 1
< ln
1 +
1
n
<
1
n
·
L'égalité des accroissements finis, appliquée à la fonction x → ln(1 + x) entre 0 et
1
n
montre qu'il existe c ∈]0,
1
n
[ tel que
ln
1 +
1
n
− ln1 =
1
n
1
1 + c
·
Comme
1
n
1
1 +
1
n
<
1
n
1
1 + c
<
1
n
on obtient les inégalités annoncées.
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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s