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F I C H E 6 – C o m p l é m e n t s s u r l e s f o n c t i o n s d é r i v a b l e s
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II Convexité
• Partie convexe, fonction convexe
Une partie du plan est dite convexe si, dès qu'elle contient deux points A et B, elle
contient tout le segment [AB].
Une fonction f, définie sur un intervalle I , est convexe sur I si la partie du plan
située au-dessus de la courbe est convexe ; c'est-à-dire si tout arc de sa courbe
représentative est situé au-dessous de la corde correspondante.
Cette définition se traduit par :
∀x 1 ∈ I ∀x 2 ∈ I ∀t ∈ [0,1], f [t x 1 + (1 − t) x 2 ] t f (x 1 ) + (1 − t) f (x 2 ).
Si − f est convexe, f est dite concave.
• Inégalité de convexité
f étant convexe sur un intervalle I , si x 1 ,. . . ,x n appartiennent à I , si λ 1 ,. . . ,λ n sont
des réels positifs tels que
n
i=1
λ i = 1 , alors :
f
n
i=1
λ i x i
n
i=1
λ i f (x i )
• Propriété des sécantes
Soit f une fonction convexe sur I , et x 0 un point fixé dans I . Notons M
x, f (x)
et
M 0
x 0 , f (x 0 )
des points du graphe de f.
La fonction ϕ définie sur I par :
ϕ(x) = pente (M 0 M) =
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
est croissante.
• Fonctions convexes dérivables
Soit f une fonction dérivable sur I. La fonction f est convexe sur I si, et seulement si,
f
est croissante.
Si f est deux fois dérivable sur I , cela correspond à f
positive sur I .
Le graphe de toute fonction convexe dérivable est au-dessus de chacune de ses tangentes.
Attention, il s'agit d'une condition suffisante de dérivabilité, mais elle n'est pas nécessaire. Il peut arriver que f
d (a) existe sans que f
ait une limite en a.