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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Compléments
sur les fonctions
dérivables
I Théorème de Rolle
et des accroissements finis
• Théorème de Rolle
Soit f une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, et telle que
f (a) = f (b) .
Alors il existe au moins un point c ∈]a,b[ tel que f
(c) = 0.
Autre énoncé
Si f est dérivable sur un intervalle I , entre deux valeurs de I qui annulent f, il existe au moins une valeur de I qui annule f
.
• Égalité des accroissements finis
Soit f une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. Alors il existe au moins
un point c ∈]a,b[ tel que :
f (b) − f (a) = (b − a) f
(c) .
Cette égalité et le théorème de Rolle, valables pour les fonctions de R dans R, ne se
généralisent pas au cas des fonctions de R dans R
n avec n 2.
• Inégalité des accroissements finis
Soit f une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[.
Si m f
M, alors :
m (b − a) f (b) − f (a) M (b − a) .
En particulier, si | f
| M, alors | f (b) − f (a)| M(b − a) .
• Limite de la dérivée
Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, et si f
a une limite finie l en a, alors
f est dérivable à droite en a et f
d (a) = l.
FICHE 6