A p p l i c a t i o n
Un tracteur partant d'un point A situé sur une
route rectiligne doit atteindre un point B situé
dans un champ. On connait les distances AC = l
et C B = d.
On sait que le tracteur va deux fois moins vite
dans le champ que sur la route.
Il quitte la route en un point D de [AC] à préciser. Les trajets successifs de A à D et de D à B
sont supposés rectilignes.
Déterminez le point D pour que le temps total
soit minimal. Discutez suivant l et d.
S o l u t i o n
Soit DC = x avec 0 x l. On a alors AD = l − x et D B =
√
x 2 + d 2 .
Si v désigne la vitesse du tracteur dans le champ, sa vitesse sur la route est 2v ; et le
temps total mis par le tracteur pour atteindre B est :
t (x) =
l − x
2v
+
√
x 2 + d 2
v
·
On cherche l'abscisse x 0 du minimum de la fonction t sur [0,l]. On a :
t
(x) = −
1
2v
+
x
v
√
x 2 + d 2
puis : t
(x) 0 ⇐⇒ 2x
√
x 2 + d 2 ⇐⇒ x
d
√
3
·
• Si d >
√
3 l, alors l
(x) < 0 sur [0,l]. La fonction t est strictement décroissante sur
[0,l] et atteint son minimum en x 0 = l, c'est-à-dire que le tracteur quitte la route
en A.
• Si 0 d
√
3 l , alors :
t
(x) < 0 pour 0 < x <
d
√
3
et t
(x) > 0 pour
d
√
3
< x < l.
La fonction t passe donc par un minimum en x 0 =
d
√
3
·
31
F I C H E 5 – F o n c t i o n s d é r i v a b l e s
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5
A
D
C
B
Figure 5.1