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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Soit f n la fonction définie sur R par f n (x) = e
−x x
n où n ∈ N.
Pour tout k ∈ N , montrez que la dérivée k-ième de f n s'écrit :
f
(k)
n (x) = P k (x) e
−x
où P k est une fonction polynôme à expliciter.
Si k n, calculez P k (0).
S o l u t i o n
f n est le produit de deux fonctions indéfiniment dérivables sur R. Elle est donc indéfiniment dérivable. Sa dérivée k-ième s'obtient à l'aide de la formule de Leibniz :
f
(k)
n (x) =
k
i=0
k
i
(x
n
)
(i)
(e
−x
)
(k−i)
=
k
i=0
(−1)
k−i
k
i
(x
n
)
(i) e
−x .
Si k n f
(k)
n (x) =
k
i=0
(−1)
k−i
k
i
n!
(n − i)!
x
n−i
e
−x .
Si k > n f
(k)
n (x) =
n
i=0
(−1)
k−i
k
i
n!
(n − i)!
x
n−i
e
−x
car (x
n
)
(i)
= 0 pour i > n .
On obtient donc bien la forme annoncée, avec :
P k (x) =
k
i=0
(−1)
k−i
k
i
n!
(n − i)!
x
n−i pour k n
P k (x) =
n
i=0
(−1)
k−i
k
i
n!
(n − i)!
x
n−i pour k > n.
Si k < n, pour tout i de 0 à k, on a n − i 1. Par conséquent, P k (0) = 0 .
Si k = n, on peut écrire :
P n (x) = n! +
n−1
i=0
(−1)
n−i
n
i
n!
(n − i)!
x
n−i
et on en déduit que P n (0) = n! .