29
F I C H E 5 – F o n c t i o n s d é r i v a b l e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
5
A p p l i c a t i o n
Étudiez la dérivabilité et calculez la dérivée de la fonction définie sur R par :
f (x) = x sin
1
x
pour x = / 0 et f (0) = 0.
S o l u t i o n
Pour x = / 0, la fonction f est dérivable comme produit de fonctions dérivables, et
f
(x) = sin
1
x
−
1
x
cos
1
x
·
Étudions la dérivabilité en 0.
Le quotient
f (x) − f (0)
x − 0
= sin
1
x
n'a pas de limite lorsque x tend vers 0 (cf. fiche 3).
La fonction f n'est donc pas dérivable en 0.
Comme 0 < |f (x)| |x|, la fonction f est continue en 0. On a donc ici un exemple de fonction qui est continue en un point et non dérivable en ce point.
A p p l i c a t i o n
Le produit de deux fonctions peut-il être dérivable en x 0 si l'une au moins des fonctions n'est pas dérivable en x 0 ?
S o l u t i o n
Pour prouver que la réponse est oui, il suffit de fournir un exemple, comme les fonctions f et g définies sur R par :
f (x) = x pour x = / 0 et f (0) = 1 ; g(x) =
1
x
pour x = / 0 et g(0) = 1.
Ces fonctions ne sont pas continues en 0, donc non dérivables en 0. Leur produit est la
fonction constante égale à 1, donc dérivable en 0 et aussi sur R.