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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
• Formule de Leibniz
Si f et g admettent des dérivées d'ordre n en x 0 , alors il en est de même de f g ; et
on a :
( f g)
(n)
(x 0 ) =
n
k=0
n
k
f
(k)
(x 0 ) g
(n−k)
(x 0 ) .
III Variations d'une fonction
dérivable
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I .
• Théorème
Si, pour tout x ∈ I, f
(x) = 0 alors f est constante sur I .
Si, pour tout x ∈ I, f
(x) 0 alors f est croissante sur I .
Si, pour tout x ∈ I, f
(x) > 0 alors f est strictement croissante sur I .
Ce dernier résultat est encore valable si f
s'annule en des point isolés, c'est-à-dire
tels que leur ensemble ne contienne pas d'intervalle.
• Condition nécessaire d'extrémum local
Si f admet un extrémum local en x 0 et si f est dérivable en x 0 , alors f
(x 0 ) = 0.
• Condition suffisante d'extrémum local
f, f
et f
étant continues sur ]a,b[, si en x 0 ∈]a,b[, on a f
(x 0 ) = 0 et f
(x 0 ) = / 0 ,
la fonction f présente un extrémum local en x 0 .
C'est un maximum si f
(x 0 ) < 0 , un minimum si f
(x 0 ) > 0 .