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F I C H E 5 – F o n c t i o n s d é r i v a b l e s
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Son équation est :
y − f (x 0 ) = f
(x 0 ) (x − x 0 ).
Si lim
x→x 0
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
= ±∞ , f n'est pas dérivable en x 0 , mais le graphe de f admet
au point d'abscisse x 0 une tangente parallèle à Oy.
• Dérivabilité et continuité
Toute fonction dérivable en x 0 est continue en x 0 .
Attention, la réciproque est fausse. Par exemple, la fonction x → |x| est continue, et non
dérivable, en 0, car elle admet une dérivée à gauche et une dérivée à droite différentes.
II Opérations sur les fonctions
dérivables
• Opérations algébriques
Si f et g sont dérivables en x 0 , il en est de même de f + g, de f g, et de
f
g
si
g(x 0 ) = / 0 ; et on a :
( f + g)
(x 0 ) = f
(x 0 ) + g
(x 0 )
( f g)
(x 0 ) = f
(x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g
(x 0 )
f
g
(x 0 ) =
f
(x 0 )g(x 0 ) − f (x 0 )g
(x 0 )
g 2 (x 0 )
·
• Fonction composée
Soit f une fonction dérivable en x 0 et g une fonction dérivable en f (x 0 ), alors g ◦ f
est dérivable en x 0 , et
(g ◦ f )
(x 0 ) = g
( f (x 0 )) × f
(x 0 ) .
• Dérivée d'une fonction réciproque
Soit f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I . On suppose
que f est dérivable en f (x 0 ) et que f
(x 0 ) = / 0 .
Alors, la fonction réciproque f
−1 est dérivable en f (x 0 ) et
( f
−1
)
( f (x 0 )) =
1
f (x 0 )
·