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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Fonctions
dérivables
I Définitions
• Dérivée en un point
Soit f une fonction définie sur D et x 0 ∈ D tel que f soit définie au voisinage de
x 0 . On appelle dérivée de f au point x 0 le nombre (lorsqu'il existe) :
lim
x→x 0
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
= lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
= f
(x 0 ) .
On dit alors que f est dérivable en x 0 .
Si lim
x→x
+
0
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
existe, f est dite dérivable à droite en x 0 , et cette limite est
appelée dérivée à droite de f en x 0 , et notée f
d (x 0 ).
On définit de même la dérivée à gauche en x 0 , notée f
g (x 0 ).
f est dérivable en x 0 si, et seulement si, f admet en x 0 une dérivée à droite et une
dérivée à gauche égales.
• Fonction dérivée
f est dite dérivable sur une réunion D d'intervalles ouverts, si elle dérivable en tout
point de D.
La fonction dérivée de f est définie sur D par : x → f
(x).
• Dérivées successives
Soit f dérivable sur D. Si f
est dérivable sur D, on note sa fonction dérivée f
ou f
(2) .
On l'appelle dérivée seconde de f.
Pour n entier, on définit par récurrence la dérivée n-ième, ou dérivée d'ordre n, de
f en posant f
(0)
= f, puis f
(n)
= ( f
(n−1)
)
, lorsque f
(n−1) est dérivable sur D.
f est dite de classe C
n sur D si f
(n) existe sur D, et est continue sur D.
f est dite de classe C
∞ sur D, ou indéfiniment dérivable, si f admet des dérivées de
tous ordres sur D.
• Interprétation graphique
f dérivable en x 0 signifie que le graphe de f admet au point d'abscisse x 0 une tangente de pente f
(x 0 ).
FICHE 5