A p p l i c a t i o n
Un marcheur parcourt 12 km en une heure. Montrez qu'il existe au moins un intervalle de 30 min pendant lequel il parcourt exactement 6 km.
S o l u t i o n
Si t est la durée (en min) depuis le départ, on a t ∈ [0,60].
Désignons par f (t) la distance parcourue (en km) pendant la durée t. On peut supposer f continue.
Notons g(t) la distance parcourue (en km) en 30 min à partir de l'instant t.
g est continue et liée à f par :
g(t) = f (t + 30) − f (t) avec t ∈ [0,30].
On a g(0) = f (30) et g(30) = 12 − f (30) car f (0) = 0 et f (60) = 12.
La valeur 6 =
g(0) + g(30)
2
appartient à l'intervalle d'extrémités g(0) et g(30) .
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc au moins un nombre
t 0 ∈ [0,30] tel que g(t 0 ) = 6 .
Pendant la demi-heure [t 0 ,t 0 + 30], le marcheur parcourt exactement 6 km.
A p p l i c a t i o n
Montrez que la fonction f définie sur ]0,+∞[ par f (x) =
1
√
x
n'est pas uniformément
continue.
S o l u t i o n
Si f était uniformément continue sur I =]0,+∞[, on aurait :
∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ I ∀x
∈ I
|x − x
| < η ⇒
1
√
x
−
1
√
x
< ε .
On pourrait prendre en particulier x
= 2x et on aurait :
∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ I |x| < η ⇒
√
2 − 1
√
2x
< ε
ce qui est incompatible avec lim
x→0
√
2−1
√
2x
= +∞ .
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F I C H E 4 – F o n c t i o n s c o n t i n u e s
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