A p p l i c a t i o n
Soit f une fonction de [0,1] dans R telle que f (0) = f (1) = 0, et qui possède la propriété :
∀x ∈ [0,1]
∀y ∈ [0,1]
f (x) = f (y) = 0 ⇒ f
x + y
2
= 0 .
1. Montrez que pour tout n ∈ N, pour tout h ∈ N tel que 0 h 2
n , on a :
f
h
2 n
= 0.
2. En supposant f continue, montrez qu'alors f est la fonction nulle.
S o l u t i o n
1. Notons (P n ) la propriété à démontrer, et faisons un raisonnement par récurrence
sur n.
La propriété (P 0 ) est vraie par hypothèse. Supposons que, pour k entier naturel quelconque, (P k ) soit vraie, et démontrons qu'alors (P k+1 ) est vraie.
Soit h ∈ N tel que 0 h 2
k+1 .
• Si h est pair, on a h = 2 p avec 0 p 2
k et
h
2 k+1 =
p
2 k · On a alors par suite
de (P k ) :
f
h
2 k+1
= f
p
2 k
= 0 .
• Si h est impair, on a h = 2 p + 1 avec 0 p < 2
k .
On peut alors écrire :
h
2 k+1 =
1
2
p
2 k +
p + 1
2 k
.
Comme on a, par suite de (P k ), f
p
2 k
= f
p + 1
2 k
= 0 , on en déduit
f
h
2 k+1
= 0 à cause de l'hypothèse faite sur f.
La propriété (P n ) est donc démontrée pour tout entier naturel n.
2. Soit a ∈]0,1[. Pour tout n ∈ N, on pose u n =
1
2 n × E
a 2
n
.
On a alors u n a < u n +
1
2 n puis 0 a − u n <
1
2 n ; de plus f (u n ) = 0.
On a donc lim
n→+∞
u n = a et, par continuité de f, f (a) = lim
n→+∞
f (u n ) = 0 .
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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s