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F I C H E 4 – F o n c t i o n s c o n t i n u e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
4
f est une bijection de I sur f (I ), et sa bijection réciproque f
−1 est continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur l'intervalle f (I ).
Dans un repère orthonormé, les graphes de f et de f
−1 sont symétriques par rapport à la première bissectrice des axes.
III Continuité uniforme
• Définition
Une fonction f est uniformément continue sur D si :
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ D ∀x
∈ D |x − x
| δ | f (x) − f (x
)| ε .
Dans cette écriture logique, α dépend de ε, mais pas de x ; d'où l'origine du mot uniforme.
La continuité uniforme sur D entraîne la continuité sur D.
• Théorème de Heine
Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment.
• Cas d'une fonction lipchitzienne
Si f est lipschizienne sur D, alors elle est uniformément continue sur D.
F I C H E 4 – F o n c t i o n s c o n t i n u e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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f est une bijection de I sur f (I ), et sa bijection réciproque f
−1 est continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur l'intervalle f (I ).
Dans un repère orthonormé, les graphes de f et de f
−1 sont symétriques par rapport à la première bissectrice des axes.
III Continuité uniforme
• Définition
Une fonction f est uniformément continue sur D si :
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ D ∀x
∈ D |x − x
| δ | f (x) − f (x
)| ε .
Dans cette écriture logique, α dépend de ε, mais pas de x ; d'où l'origine du mot uniforme.
La continuité uniforme sur D entraîne la continuité sur D.
• Théorème de Heine
Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment.
• Cas d'une fonction lipchitzienne
Si f est lipschizienne sur D, alors elle est uniformément continue sur D.