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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Fonctions continues
I Continuité
•
Continuité en un point
– f est continue en x 0 si elle est définie en x 0 et si lim
x→x 0
f (x) = f (x 0 ) .
– f est continue à droite (resp. à gauche) en x 0 si lim
x→x
+
0
f (x) = f (x 0 )
(resp. lim
x→x
−
0
f (x) = f (x 0 ) ).
• Prolongement par continuité
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 /
∈ I.
Si lim
x→x 0
f (x) = l , la fonction ˜
f définie sur I ∪ {x 0 } par ˜
f (x 0 ) = l et ˜
f (x) = f (x)
pour x ∈ I, est la seule fonction continue en x 0 dont la restriction à I soit f. On
l'appelle le prolongement par continuité de f en x 0 .
• Continuité sur un intervalle
Soit D un intervalle ou une réunion d'intervalles. Une fonction f, définie sur D, est
dite continue sur D, si f est continue en tout point de D.
II Image d'un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur un intervalle I , alors f (I ) est un intervalle.
• Image d'un intervalle fermé
Si f est continue sur un intervalle fermé I , alors f (I ) est un intervalle fermé.
En particulier, si une fonction f est continue sur [a,b], et si f (a) et f (b) sont de
signe contraire, l'équation f (x) = 0 admet au moins une solution dans [a,b].
• Cas d'une fonction strictement monotone
Soit f une fonction continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur un
intervalle I .
FICHE 4