A p p l i c a t i o n
Soit f une fonction de R dans R, périodique, et qui admet une limite finie l quand x
tend vers +∞ . Démontrez que f est constante.
S o l u t i o n
Soit T une période de f (avec T > 0), et y un réel quelconque. Par définition de la limite l, on a :
∀ε > 0
∃A > 0
x > A ⇒ | f (x) − l| < ε .
Comme R possède la propriété d'Archimède (cf. fiche 1), il existe n ∈ N tel que
y + nT > A .
On en déduit que | f (y + nT ) − l| < ε .
Et comme f (y + nT ) = f (y), on a :
∀ε > 0
| f (y) − l| < ε.
D'où f (y) = l pour tout réel y, ce qui prouve que f est constante.
A p p l i c a t i o n
Déterminez, si elle existe, la limite : lim
x→0
(cos x)
1
tan
2 x .
S o l u t i o n
Posons f (x) =
cos x
1
tan
2 x = e
A(x)
avec A(x) =
1
tan 2 x
ln(cos x) ∼
0
ln(cosx)
x 2 ·
Par ailleurs ln(cos x) = ln(1 + cos x − 1) ∼
0
cos x − 1 ∼
0
−
x
2
2
·
Par conséquent A(x) ∼
0
−
1
2
·
On a donc lim
x→0
A(x) = −
1
2
, puis, la fonction exp étant continue en 0 :
lim
x→0
f (x) = e
−0,5
=
1
√
e
≈ 0,607 .
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F I C H E 3 – L i m i t e d ’ u n e f o n c t i o n
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