20
A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Déterminez les limites suivantes (si elles existent) :
lim
x→−∞
x 2 + 3x − 7 − x
,
lim
x→+∞
x 2 + 3x − 7 − x
.
S o l u t i o n
a) Lorsque x tend vers −∞ ,
√
x 2 + 3x − 7 existe et tend vers +∞ , ainsi que −x.
Comme la somme de deux fonctions qui tendent toutes les deux vers +∞ tend aussi
vers +∞ , on a donc :
lim
x→−∞
x 2 + 3x − 7 − x
= +∞ .
b) Lorsque x tend vers +∞ , la réponse n'est pas immédiate. Multiplions, et divisons,
par
√
x 2 + 3x − 7 + x , puis simplifions par x (avec x > 0) :
√
x 2 + 3x − 7 − x =
3x − 7
√
x 2 + 3x − 7 + x
=
3 −
7
x
1 +
3
x
−
7
x 2 + 1
·
Lorsque x tend vers +∞ , le numérateur tend vers 3, le dénominateur tend vers 2.
Donc :
lim
x→+∞
x 2 + 3x − 7 − x
=
3
2
·
A p p l i c a t i o n
Montrez que la fonction f, définie pour x = / 0 par f (x) = sin
1
x
, n'a pas de limite
quand x tend vers 0.
S o l u t i o n
Pour n ∈ N, posons x n =
1
(2n + 1)
π
2
choisi de sorte que f (x n ) = (−1)
n .
Lorsque n tend vers +∞ , la suite (x n ) tend vers 0, et la suite
f (x n )
est divergente.
Donc la fonction f n'a pas de limite quand x tend vers 0.