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F I C H E 3 – L i m i t e d ’ u n e f o n c t i o n
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– On dit que f est négligeable devant g, ou que g est prépondérante devant f, au
voisinage de x 0 si, pour tout ε > 0 , il existe un voisinage J de x 0 tel que l'on ait
| f (x)| ε |g(x)| pour tout x de J.
notation : f = o(g).
Si g ne s'annule pas au voisinage de x 0 , cela signifie :
lim
x→x 0
f (x)
g(x)
= 0 .
– On dit que f et g sont équivalentes au voisinage de x 0 , si on a
f − g = o(g). Si g ne s'annule pas au voisinage de x 0 , cela signifie :
lim
x→x 0
f (x)
g(x)
= 1 .
notation : f ∼ g ou f ∼
x 0
g.
La relation ∼
x 0
est transitive. Si l'on sait que f ∼
x 0
g et g ∼
x 0
h , on en déduit que
f ∼
x 0
h .
• Exemples fondamentaux
Au voisinage de +∞ , on a :
(lnx)
α
= o(x
β
) et x
β
= o(e
γx
) où α > 0 , β > 0 , γ > 0.
Au voisinage de 0, on a :
|lnx|
α
= o(x
β
) où α > 0 et β < 0 .
• Propriétés des fonctions équivalentes
Si f 1 ∼
x 0
g 1 et f 2 ∼
x 0
g 2 , alors f 1 f 2 ∼
x 0
g 1 g 2 et
f 1
f 2
∼
x 0
g 1
g 2
·
Si f ∼
x 0
g et si lim
x→x 0
g(x) = l , alors lim
x→x 0
f (x) = l .
Des deux théorèmes précédents, il résulte que, lorsque l'on a à chercher la limite d'un
produit ou d'un quotient, on peut remplacer chacune des fonctions par une fonction équivalente, choisie pour simplifier le calcul.
Mais attention à ne pas effectuer un tel remplacement dans une somme, ni dans une
fonction composée.
• Équivalents classiques
e
x
− 1 ∼
0
x
;
sin x ∼
0
x
;
1 − cos x ∼
0
x
2
2
;
ln (1 + x) ∼
0
x ;
tan x ∼
0
x ; (1 + x)
α
− 1 ∼
0
αx.