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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
• Opérations algébriques
Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de x 0 et admettant des limites l
et m en x 0 , et λ un réel.
Alors les fonctions f + g, λ f et f g admettent respectivement pour limites en x 0 :
l + m, λ f et lm.
Si de plus m = / 0 ,
1
g
a pour limite
1
m
·
• Fonction composée
– Soit f une fonction définie au voisinage de x 0 avec lim
x→x 0
f (x) = u 0 et g définie
au voisinage de u 0 telle que lim
u→u 0
g(u) = v .
Alors g ◦ f est définie au voisinage de x 0 et lim
x→x 0
g( f (x)) = v .
– Image d'une suite convergente
Soit f définie sur un intervalle I et a un point de I .
f a pour limite l au point a si, et seulement si, pour toute suite (x n ) convergeant
vers a, la suite
f (x n )
converge vers l, finie ou non.
Pour démontrer qu'une fonction f n'a pas de limite lorsque x tend vers a, il suffit de fournir un exemple de suite (x n ) qui tende vers a et telle que
f (x n )
soit divergente.
• Cas des fonctions monotones
Soit f une fonction monotone sur ]a,b[. Elle admet en tout point x 0 de ]a,b[ une
limite à droite et une limite à gauche.
Lorsque f est croissante, si elle est majorée, elle admet en b une limite à gauche
finie, si elle n'est pas majorée, elle tend vers +∞ quand x tend vers b
− .
Pour f décroissante, on a la propriété analogue au point a.
III Comparaison au voisinage d'un point
Soit f et g deux fonctions définies sur I , et x 0 un point, fini ou infini, appartenant à I ,
ou extrémité de I .
• Définitions
– On dit que f est dominée par g au voisinage de x 0 s'il existe A > 0 tel que
| f (x)| A |g(x)| pour tout x d'un voisinage J de x 0 .
notation : f = O(g) .
Si g ne s'annule pas sur J, cela signifie que
f
g
est bornée sur J.