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F I C H E 3 – L i m i t e d ’ u n e f o n c t i o n
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On note : lim
x→x 0
f (x) = −∞ .
• Limite de f lorsque x tend vers +∞ ou −∞
– On dit que f a pour limite l quand x tend vers +∞ si :
∀ε > 0 ∃B > 0 ∀x ∈ I x B ⇒ | f (x) − l| ε .
On note : lim
x→+∞
f (x) = l .
On définit de manière analogue lim
x→−∞
f (x) = l .
– On dit que f tend vers +∞ quand x tend vers +∞ si :
∀A > 0 ∃B > 0 ∀x ∈ I x B ⇒ f (x) A .
On note : lim
x→+∞
f (x) = +∞ .
On définit de manière analogue lim
x→−∞
f (x) = +∞ . . .
II Propriétés des limites
Soit f une fonction définie sur I , et x 0 un point, fini ou infini, appartenant à I , ou
extrémité de I .
• Propriétés liées à l'ordre
– Si f admet une limite finie en x 0 , alors f est bornée au voisinage de x 0 .
– Si f admet une limite finie l > 0 en x 0 , alors il existe a > 0 tel que f a au voisinage de x 0 .
– Si f est positive au voisinage de x 0 et admet une limite finie l en x 0 , alors l 0.
– Si f g au voisinage de x 0 , et si lim
x→x 0
f (x) = l et lim
x→x 0
g(x) = m , alors l m.
– Théorème d'encadrement (ou « des gendarmes », ou « sandwich »)
Soit f, g et h trois fonctions définies au voisinage de x 0 , et vérifiant f g h
au voisinage de x 0 .
Si f et h ont la même limite l (finie ou infinie) en x 0 , alors g a pour limite l
en x 0 .
– Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de x 0 , et vérifiant f g au voisinage de x 0 .
Si lim
x→x 0
f (x) = +∞ , alors lim
x→x 0
g(x) = +∞.
Si lim
x→x 0
g(x) = −∞, alors lim
x→x 0
f (x) = −∞ .