16
A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Limite
d’une fonction
I Définitions
Soit f une fonction, à valeurs réelles, définie sur un intervalle I contenant au moins
deux points.
• Limite d'une fonction en x 0
Soit x 0 un point appartenant à I , ou extrémité de I . On dit que f admet une limite
finie l en x 0 , et on note lim
x→x 0
f (x) = l , si :
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ I |x − x 0 | δ | f (x) − l| ε .
Cette limite peut exister même si f n'est pas définie en x 0 . Mais si f est définie en x 0 et
si lim
x→x0
f (x) existe, alors lim
x→x0
f (x) = f (x 0 ) .
Si une fonction admet une limite l en x 0 , cette limite est unique.
• Limite à gauche, limite à droite
– f admet une limite à droite l en x 0 si la restriction de f à I ∩ ]x 0 ,+∞[ admet pour
limite l en x 0 . On note : lim
x→x
+
0
f (x) = l .
– f admet une limite à gauche l en x 0 si la restriction de f à I ∩ ] − ∞,x 0 [ admet
pour limite l en x 0 . On note : lim
x→x
−
0
f (x) = l .
– Si f est définie sur un intervalle de la forme ]x 0 − a,x 0 + a[, sauf en x 0 , alors :
lim
x→x 0
f (x) = l ⇐⇒ lim
x→x
−
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x) = l .
Si f est définie en x 0 , ces deux limites doivent aussi être égales à f (x 0 ).
• Limite infinie en x 0
– On dit que f tend vers +∞ quand x tend vers x 0 si :
∀A > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I |x − x 0 | δ ⇒ f (x) A .
On note : lim
x→x 0
f (x) = +∞ .
– On dit que f tend vers −∞ quand x tend vers x 0 si :
∀A > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I |x − x 0 | δ ⇒ f (x) −A .
FICHE 3