A p p l i c a t i o n
1. Soit f une fonction paire définie sur [−a,a] avec a > 0.
Montrez que, si la restriction de f à [0,a] est croissante, alors la restriction de f à
[−a,0] est décroissante.
2. Soit g une fonction impaire définie sur [−a,a].
Montrez que, si la restriction de g à [0,a] est croissante, alors g est croissante sur
[−a,a].
S o l u t i o n
1. Soit x et x
tels que −a x < x
0 ; alors 0 −x
< −x a .
La restriction de f à [0,a] étant croissante, on a :
f (−x
) f (−x),
puis, comme f est paire : f (x) f (x
), ce qui démontre que la restriction de f à
[−a,0] est décroissante.
2. De la même manière, en partant de −a x < x
0, on obtient :
g(−x
) g(−x),
puis, comme g est impaire : −g(x
) −g(x), d'où g(x) g(x
) , ce qui démontre que
la restriction de g à [−a,0] est croissante.
Comme les deux restrictions de g à [−a,0] et à [0,a] sont croissantes, la fonction g
est croissante sur [−a,a].
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F I C H E 2 – G é n é r a l i t é s s u r l e s f o n c t i o n s n u m é r i q u e s
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