A p p l i c a t i o n
1. Soit la forme différentielle définie dans R
2 par ω = y dx + (2x − ye
y
) dy.
Montrez que ω n'est pas exacte dans R
2 .
2. Trouvez une fonction g(y) de la seule variable y telle que la forme différentielle
g(y)ω soit exacte dans R
2 .
3. Déterminez les fonctions f (x,y) telles que d f = gω dans R
2 .
S o l u t i o n
1. La forme différentielle est de la forme ω = P dx + Q dy , avec
P(x,y) = y et Q(x,y) = 2x − ye
y .
Comme
∂ P
∂ y
= /
∂ Q
∂ x
la forme ω n'est pas fermée. Elle ne peut donc pas être exacte.
2. On a g(y) ω = P 1 dx + Q 1 dy avec
P 1 (x,y) = yg(y) et Q 1 (x,y) = (2x − ye
y
) g(y).
Comme R
2 est simplement connexe, d'après le théorème de Poincaré on a :
g(y) ω exacte ⇐⇒ g(y) ω fermée.
Comme
∂ P 1
∂ y
= g(y) + yg
(y) et
∂ Q 1
∂ x
= 2g(y) , la condition cherchée s'écrit :
yg
(y) − g(y) = 0 ⇐⇒ g(y) = K y.
On peut donc choisir, en particulier, g(y) = y .
3. D'après la question précédente, il existe une fonction f définie sur R telle que
d f = y ω, soit :
∂ f
∂ x
= y
2 ;
∂ f
∂ y
= 2xy − y
2 e
y
La première égalité donne f (x,y) = xy
2
+ k(y). En reportant dans la seconde équation, on obtient :
2xy + k
(y) = 2xy − y
2 e
y
⇐⇒ k
(y) = −y
2 e
y ,
soit après deux intégrations par parties :
k(y) = −e
y
(y
2
− 2y + 2) + C avec C ∈ R.
Les fonctions f cherchées sont donc définies par :
f (x,y) = xy
2
− e
y
(y
2
− 2y + 2) + C.
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F I C H E 3 0 – I n t é g r a l e s c u r v i l i g n e s
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