156 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Montrez que la forme différentielle ω =
2xy dx + (1 − x
2
) dy
(1 − x 2 ) 2 + y 2
est fermée.
Dans un ouvert à préciser, déterminez une fonction f telle que ω = d f.
S o l u t i o n
• La forme différentielle ω est définie sur R
2
\
(−1,0),(1,0)
.
À partir de P =
2xy
(1 − x 2 ) 2 + y 2 et Q =
1 − x
2
(1 − x 2 ) 2 + y 2 on observe que :
∂ P
∂ y
=
2x (1 − x
2
)
2
− 2xy
2
(1 − x 2 ) 2 + y 2
2 =
∂ Q
∂ x
·
Elle est donc fermée.
• Elle est exacte sur tout ouvert respectant les hypothèses du théorème de Poincaré, ce
qui n'est pas le cas de son ensemble de définition.
Cherchons f telle que ω = d f sur un ouvert A à préciser. f doit vérifier :
∂ f
∂ x
=
2xy
(1 − x 2 ) 2 + y 2 ;
∂ f
∂ y
=
1 − x
2
(1 − x 2 ) 2 + y 2 ·
Il est plus simple de partir de la seconde égalité et de placer dans un ouvert où x
2
= / 1,
par exemple A =
(x,y) ; |x| < 1
, qui est simplement connexe.
On peut alors écrire
∂ f
∂ y
=
1
1 − x 2
1 +
y
1 − x 2
2 d'où l'on tire :
f (x,y) = arctan
y
1 − x 2
+ ϕ(x) .
En calculant
∂ f
∂ x
et en reportant, on obtient ϕ
(x) = 0, soit :
∀(x,y) ∈ A
f(x,y) = arctan
y
1 − x 2
+ K .