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F I C H E 3 0 – I n t é g r a l e s c u r v i l i g n e s
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• Ouverts particuliers
Un ouvert U de R
n est étoilé s'il existe a ∈ U tel que, pour tout x ∈ U, le segment
d'extrémités a et x soit inclus dans U .
Un ouvert U de R
n est simplement connexe si toute courbe fermée incluse dans U
peut se ramener à un point par déformation continue.
• Théorème de Poincaré
Si U est un ouvert étoilé, ou si U est simplement connexe, alors :
ω exacte sur U ⇐⇒ ω fermée sur U .
En physique, cela signifie que l'on a toujours
− → rot
− − →
grad f
=
− → 0 .
Attention, cette équivalence exige une hypothèse sur U. Elle n'est pas vraie dans le cas
du plan privé d'un point, de l'espace privé d'une droite (qui ne sont ni étoilés ni simplement connexes).
II Intégrale curviligne
• Arc orienté
Soit un arc de courbe défini par la représentation paramétrique :
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
t ∈ [a,b]
L'arc est orienté par le choix de l'un des deux sens de parcours possibles, ce qui
revient à distinguer les vecteurs unitaires tangents (opposés)
− →
T + et
− →
T − .
• Intégrale d'une forme différentielle le long d'un arc orienté
P, Q et R étant des fonctions continues, on appelle intégrale curviligne de la forme
différentielle ω = Pdx + Qdy + Rdz le nombre noté :
+
ω =
+
Pdx + Qdy + Rdz
et défini par :
I =
b
a
P
x(t),y(t),z(t)
x
(t) + Q
x(t),y(t),z(t)
y
(t)
+R
x(t),y(t),z(t)
z
(t)
dt
En physique, il s'agit de la circulation de
− →
V le long de .