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Intégrales
curvilignes
I Formes différentielles de degré 1
• Définition
Une forme différentielle de degré 1 est une application ω, définie sur un ouvert U
de R
n , et à valeurs dans le dual L(R
n
,R) .
En notant dx i la i-ième projection de R
n sur R (définie par dx i (h) = h i si
h = (h 1 ,. . . ,h n )), ω s'écrit :
∀x = (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ U
ω(x) =
n
i=1
P i (x)dx i .
Les P i , applications de U dans R, sont les fonctions coordonnées de ω.
En physique, on associe à ω le champ de vecteurs − → V de composantes (P 1 , P 2 ) dans le
plan et (P 1 , P 2 , P 3 ) dans l'espace.
Si tous les P i sont de classe C
k sur U , on dit que ω est de classe C
k sur U .
• Forme exacte
Une forme différentielle ω est exacte s'il existe une fonction f, de classe C
1 , de U
dans R telle que :
d f = ω.
On dit alors que f est une primitive de ω sur U .
En physique, ω exacte signifie que − → V est un champ de gradients.
• Forme fermée
ω est fermée si :
∀i ∈ {1,. . . ,n} ∀j ∈ {1,. . . ,n}
∂ P i
∂ x j
=
∂ P j
∂ x i
·
En physique, cette condition signifie que
− →
rot
− →
V =
− →
0 .
• Condition nécessaire pour ω exacte
Une forme différentielle exacte de classe C
1 est toujours fermée.
FICHE 30