A p p l i c a t i o n
Calculez l'intégrale double I =
D
(x + y)
2 dx dy , où D est le domaine de R
2 défini
par :
x
2
+ y
2
− x 0 et x
2
+ y
2
− y 0 et y 0 .
S o l u t i o n
La condition x
2
+ y
2
− x 0 s'écrit
x −
1
2
2 + y
2
1
4
et signifie que M(x,y) est intérieur au cercle de centre
1
2
,0
et de rayon
1
2
.
La condition x
2
+ y
2
− y 0 s'écrit x
2
+
y −
1
2
2
1
4
et signifie que M(x,y) est extérieur au cercle de centre
0,
1
2
et de rayon
1
2
L'allure de la représentation graphique de D suggère de
passer en coordonnées polaires, ce qui donne :
I =
(ρ cos θ + ρ sin θ)
2 ρ dρ dθ =
ρ
3 ( cos θ + sin θ)
2 dρ dθ ,
où = {(ρ,θ) ∈ R
2 ; 0 θ
π
4
et sin θ ρ cos θ} .
On a (cos θ + sin θ)
2
= cos
2 θ + 2 cos θ sin θ + sin
2 θ = 1 + sin 2θ , et I se calcule grâce
au théorème de Fubini :
I =
π
4
0
(1 + sin 2θ)
cos θ
sin θ
ρ
3 dρ
dθ .
cos θ
sin θ
ρ
3 dρ =
1
4
cos 2θ entraîne :
I =
1
4
π
4
0
(1 + sin 2θ) cos 2θ dθ =
1
4
π
4
0
(cos 2θ +
1
2
sin 4θ) dθ =
3
16
.
153
F I C H E 2 9 – I n t é g r a l e s m u l t i p l e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
2
9
y
1
1
x
0
θ
D
Figure 29.3