152 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Calculez l'intégrale double I =
D
xy
1 + x 2 + y 2 dx dy , où D est le domaine de R
2
défini par :
0 x 1 et 0 y 1 et 1 x
2
+ y
2 .
S o l u t i o n
La partie D de R
2 est l'intersection du carré [0,1] × [0,1]
et de l'extérieur du cercle de centre O et de rayon 1.
La fonction f définie par :
f (x,y) =
xy
1 + x 2 + y 2
est continue sur D .
À l'aide du théorème de Fubini, et du dessin pour ne pas
se tromper sur les bornes, on peut écrire :
I =
1
0
1
√
1−x 2
xy
1 + x 2 + y 2 dy
dx .
On a :
1
√
1−x 2
xy
1 + x 2 + y 2 dy =
x
2
1
√
1−x 2
2y
1 + x 2 + y 2 dy
=
x
2
ln(1 + x
2 + y
2 )
y=1
y=
√
1−x 2
=
x
2
ln(2 + x
2 ) −
x
2
ln 2 =
x
2
ln(1 +
x
2
2
)
On a donc, en utilisant le changement de variable u =
x
2
2
:
I =
1
0
x
2
ln (1 +
x
2
2
) dx =
1
2
1
2
0
ln(1 + u) du =
1
2
(1 + u) ln (1 + u) − u
1
2
0
=
3
4
ln
3
2
−
1
4
y
x
1
1
0
D
Figure 29.2