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F I C H E 2 9 – I n t é g r a l e s m u l t i p l e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
2
9
• Cas des coordonnées polaires
D
f (x,y) dx dy =
f (ρ cos θ,ρ sin θ)ρ dρ dθ .
II Intégrales triples
• Approche et calcul
f étant continue sur un domaine fermé et borné D de R
3 , l'intégrale triple
I =
D
f (x,y,z) dx dy dz se définit de façon analogue aux intégrales doubles,
et se calcule par intégrations successives.
• Changement de variables
Le théorème est analogue au cas précédent. En particulier, si un domaine est représenté par une partie D de R
3 en coordonnées cartésiennes et par une partie en
coordonnées cylindriques ou sphériques, on a
– en coordonnées cylindriques :
I =
f (ρ cos θ,ρ sin θ,z)ρ dρ dθ dz ,
– en coordonnées sphériques :
I =
f (r cos ϕ cos θ,r cos ϕ sin θ,r sin ϕ)r
2 cos ϕ dr dϕ dθ .
Attention, dans cette formule ϕ est la latitude. N'oubliez pas de modifier si vous utilisez
la colatitude, comme le font beaucoup de physiciens qui ignorent la navigation.
III Applications
• Aire et volume
Si f (x,y) = 1, l'intégrale double
A
dx dy est l'aire de A.
Si f (x,y,z) = 1, l'intégrale triple
A
dx dy dz est le volume de A.
• Masse
Si f (x,y) , ou f (x,y,z) , est la densité au point (x,y), ou (x,y,z), l'intégrale double,
ou triple, correspondante est la masse de la partie A.
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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• Cas des coordonnées polaires
D
f (x,y) dx dy =
f (ρ cos θ,ρ sin θ)ρ dρ dθ .
II Intégrales triples
• Approche et calcul
f étant continue sur un domaine fermé et borné D de R
3 , l'intégrale triple
I =
D
f (x,y,z) dx dy dz se définit de façon analogue aux intégrales doubles,
et se calcule par intégrations successives.
• Changement de variables
Le théorème est analogue au cas précédent. En particulier, si un domaine est représenté par une partie D de R
3 en coordonnées cartésiennes et par une partie en
coordonnées cylindriques ou sphériques, on a
– en coordonnées cylindriques :
I =
f (ρ cos θ,ρ sin θ,z)ρ dρ dθ dz ,
– en coordonnées sphériques :
I =
f (r cos ϕ cos θ,r cos ϕ sin θ,r sin ϕ)r
2 cos ϕ dr dϕ dθ .
Attention, dans cette formule ϕ est la latitude. N'oubliez pas de modifier si vous utilisez
la colatitude, comme le font beaucoup de physiciens qui ignorent la navigation.
III Applications
• Aire et volume
Si f (x,y) = 1, l'intégrale double
A
dx dy est l'aire de A.
Si f (x,y,z) = 1, l'intégrale triple
A
dx dy dz est le volume de A.
• Masse
Si f (x,y) , ou f (x,y,z) , est la densité au point (x,y), ou (x,y,z), l'intégrale double,
ou triple, correspondante est la masse de la partie A.