150 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Intégrales multiples
I Intégrales doubles
•
Théorème de Fubini
Soit ϕ et ψ deux fonctions continues sur [a,b] avec ϕ ψ ; notons A l'ensemble
des points (x,y) ∈ R
2 tels que :
a x b et ϕ(x) y ψ(x).
Alors :
A
f (x,y) dx dy =
b
a
ψ(x)
ϕ(x)
f (x,y) dy
dx .
On peut permuter les rôles de x et de y.
• Changement de variables
Soit f (x,y) une fonction continue sur le domaine D fermé et borné, en bijection
avec un domaine fermé et borné au moyen des fonctions de classe C
1
x = ϕ(u,v) et y = ψ(u,v) ; alors :
D
f (x,y) dx dy =
f
x(u,v),y(u,v)
D(x,y)
D(u,v)
du dv
Le déterminant
D(x,y)
D(u,v)
=
∂ϕ
∂u
(u,v)
∂ϕ
∂v
(u,v)
∂ψ
∂u
(u,v)
∂ψ
∂v
(u,v)
est appelé jacobien.
y
a
x
b
y
x
( )
y
x
( )
= Ψ
= ϕ
Figure 29.1
FICHE 29