A p p l i c a t i o n
Soit f (x) =
+∞
0
e
−t
(1 − cos xt)
t 2
dt .
Calculez f
(x) et f
(x). Déduisez-en une expression simple de f (x) .
S o l u t i o n
• La fonction g définie par :
g(x,t) =
e
−t
(1 − cos xt)
t 2
si t = / 0 ; g(x,0) =
x
2
2
est continue sur R × [0; +∞[.
On a toujours : |1 − cos u| =
2 sin
2 u
2
2
u
2
2 ce qui entraîne :
|g(x,t)| e
−t x
2
2
·
Pour tout a > 0 et pour tout (x,t) ∈ [−a,a] × [0,+∞[, on a |g(x,t)|
a
2
2
e
−t et cette
fonction majorante est sommable sur [0,+∞[.
On en déduit l'existence et la continuité de f sur tout [−a,a], donc sur R.
• Pour la dérivabilité première et seconde de f, la fonction :
∂g
∂ x
(x,t) =
e
−t
t
sin xt si t = / 0 ;
∂g
∂ x
(x,0) = x
se majore sur tout [−a,a] par une fonction sommable sur [0,+∞[ :
∂g
∂ x
(x,t)
a e
−t
et la fonction :
∂
2 g
∂ x 2 (x,t) = e
−t cos xt si t = / 0 ;
∂
2 g
∂ x 2 (x,0) = 1
par
∂
2 g
∂ x 2 (x,t)
e
−t , fonction sommable sur [0,+∞[.
• On a donc f
(x) =
+∞
0
e
−t cos xtdt ce qui donne successivement :
f
(x) =
1
1 + x 2 , f
(x) = arctan x et f (x) = x arctan x −
1
2
ln(1 + x
2
) .
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F I C H E 2 8 – F o n c t i o n s d é f i n i e s p a r u n e i n t é g r a l e
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